Yapay Zeka 30 Yıldır Çözülemeyen Matematik Problemini Sadece 6 Saatte Çözdü: ChatGPT ve Diğerleri Başarısız Oldu

30 yıldır çözülemeyen bir matematik problemi nihayet çözüme kavuşturuldu! HarmonicMath tarafından geliştirilen yapay zeka matematikçisi "Aristotle", Erdős Problemi #124'ü yüzde 100 otonom bir şekilde tamamlamayı başardı. Lean kanıt sisteminde sadece 6 saat süren işlemin doğrulaması ise yalnızca 1 dakika aldı. Süreç boyunca hiçbir insan katılımı veya yardımı olmadı. Söz konusu an, matematik camiasında bir "aya iniş" anı olarak kabul edilebilir.

30 Yıllık Bir Problem Çözüldü

Matematikçi Erdős Pál'ın "problem listesi" uzun zamandır bilginin Everest Dağı gibi durarak insanlığın sınırlarını test ediyor. Çözülemeyen soruların ödülleri çoğunlukla onlarca dolar ile on binlerce dolar arasında değişiyor. Sembolik anlamı gerçek değerinden çok daha büyük olan liste, sayısız matematikçi için manevi bir madalya haline geldi.

"Tam sayı kuvvetleri kümelerinin tam dizileri" adlı makalede önerilen Problem #124 (Erdős #124), 30 yıldır çözümsüz kalmıştı.

E124'ün özü şu: Verilen k doğal sayı d_i ≥ 2 için, eğer ∑ 1/(d_i - 1) ≥ 1 ise, o zaman herhangi bir n doğal sayısı için her zaman n = ∑ a_i olacak şekilde a_i mevcuttur. Ayrıca, d_i altındaki "basamaklarda" her bir a_i, {0, 1} ile sınırlıdır.

Basitçe ifade edilirse soru esasen şu: Aşırı kısıtlamalar altında, herhangi bir büyük sayı tabandan etkilenmeden her zaman "ikili" (binary) olarak temsil edilebilir mi?

Derin "kombinatoryal matematik" sularını içeren konuda geleneksel yöntemler, en büyük ortak bölen (ebob) koşulu ve sınır durumlarında tıkanıp kalmıştı. Dün geceye kadar; o zaman bahsedilen duvar yıkıldı.

Harmonic ekibi, pekiştirmeli öğrenme, Monte Carlo ağaç araması ve Lean biçimsel dilini birleştiren bir "matematiksel süper zeka" prototipi olan Aristotle'ı yarattı. Problem girildikten sonra yüz milyonlarca kanıt stratejisini tarayan sistem, sonunda yüzde 100 doğrulanabilir bir teorem üretti.

Matematikçi Boris Alexeev, yapay zeka tarafından üretilen üç teorem arasında favorisinin şu olduğunu söyledi:

theorem erdos_124 : ∀ k, ∀ d : Fin k → ℕ, (∀ i, 2 ≤ d i) → 1 ≤ ∑ i : Fin k, (1 : ℚ) / (d i - 1) → ∀ n, ∃ a : Fin k → ℕ, ∀ i, ((d i).digits (a i)).toFinset ⊆ {0, 1} ∧ n = ∑ i, a i

Bu arada, her ikisi de Erdős tarafından önerilen E124 probleminin iki farklı versiyonu bulunuyor. Şu anda yapay zeka Aristotle nispeten basit olan versiyonu çözdü. Zaman açısından bakıldığında Aristotle 6 saat harcadı, Lean ise sadece 1 dakikada doğruladı. Erdős problem web sitesinin sorumlusu, Aristotle'ın performansının en etkileyici olanı olduğunu belirtti!

Hem ChatGPT Hem De Gemini Başarısız Oldu

Terence Tao konuyla ilgili olarak, "Bildiğim kadarıyla Gemini ve ChatGPT'nin derinlemesine araştırma araçları bu problemle ilgili yeni ve değerli bir literatür bulamadı." yorumunu yaptı.

Gemini basit bir gözlem sundu: Eğer 1 sayısı hariç tutulursa, ebob koşulu gerekli hale gelir; ayrıca koşulu açıkladı ve Cantor kümeleri, özellikle "Newhouse boşluk lemması" üzerine yapılan bazı paralel araştırmalarla bağlantı kurdu ancak problemle doğrudan ilgili yeni bir literatür bulamadı.

ChatGPT ise büyük ölçüde söz konusu web sayfasını ana yetkili kaynak olarak kullandı; Aristotle'ın kanıtına, sayfada atıfta bulunulan diğer makalelere ve ilgili problem sayfalarına atıfta bulunmak gibi. Dolayısıyla yeni bir bilgi elde edilmedi ancak okuyucular yapay zeka tarafından oluşturulan özetleri oldukça ilginç bulabilir.

Terence Tao: Yapay Zeka Matematikteki Alçak Dallardaki Meyveleri Topluyor

Mathstodon üzerinde Terence Tao yılların deneyimini de paylaştı. Tao, mevcut gerçek durumun şu olduğunu söyledi: Çözülemeyen matematik problemleri "uzun kuyruk dağılımı" izliyor ve yapay zeka otomasyonu "hasadı", uzun kuyruğun en ucunda yoğunlaşıyor.

Aslında kanıtlanması veya çürütülmesi nispeten kolay olan çok sayıda problem var fakat araştırmaya gerçekten yatırım yapabilecek uzman matematikçi sayısının sınırlı olması nedeniyle sorular çok az ilgi gördü. Başka bir deyişle, kuyrukta gizlenmiş çok sayıda erişilebilir "alçak daldaki meyve" bulunuyor: Eğer problemleri büyük ölçekte otomatik olarak çözmenin bir yolu varsa, mevcut durum önemli sayıda yeni matematiksel sonuç üretebilir.

Geçen yıl Terence Tao, Equational Theories (Denklem Teorileri) Projesi'nde benzer bir durum yaşadı. Projede evrensel cebirde 22 milyon olası çıkarımla karşı karşıya kaldılar. Tamamen insanlar tarafından yapılsaydı kesinlikle çok uzun zaman alırdı. Böylece nispeten "düşük teknolojili" otomatik bir yöntemle başlamaya karar verdiler ve çoğunu sadece birkaç gün içinde çözdüler. Ardından, önceki turlarda çözülemeyen inatçı zorlukların üstesinden gelmek için daha karmaşık yöntemler kullanmaya devam ettiler. Sonunda, kalan birkaç özellikle inatçı problemi çözmek insan matematikçilerin birkaç ayını aldı.

Şu anda Erdős problem web sitesi, Erdős'un makalelerinden en az birinde yer alan 1108 problemi kaydetmiş durumda. Bunların arasında E3 gibi iyi bilinen zor problemlerin yanı sıra, çok sayıda daha belirsiz ve nadiren fark edilen problemler de var; hatta Erdős'un kendisi bile bunlara bir daha hiç dönmedi.

Son haftalarda, web sitesindeki on adet "çözülmemiş" etiketi aniden kayboldu. Hepsi yapay zeka yardımıyla literatür taraması yoluyla keşfedildi; aslında problemler başkaları tarafından zaten çözülmüştü. Problemleri araştıran insan matematikçiler de yapay zeka araçlarını ve biçimsel kanıt asistanlarını kombinasyon halinde kullanıyor: Kimisi Lean'de mevcut kanıtları doğruluyor, kimisi problemlerle ilgili tam sayı dizisi terimleri üretiyor, kimisi de mevcut bir fikirdeki eksik kanıt adımlarını dolduruyor.

Son zamanlarda otomatik araçların kapsamı dahilinde başka bir "alçak daldaki meyve" türü keşfedildi; tanımdaki teknik kusurlar nedeniyle beklenmedik şekilde çözülmesi kolay hale gelen problemler.

E124 tipik bir örnektir. Problemin tam sürümü biraz zordur ve Erdős'un üç makalesinde yer almıştır fakat ikisinde kilit bir varsayım atlanmış, bu da versiyonu aslında Brown kriterinin doğrudan bir sonucu haline getirmiştir. Boris Alexeev problemi otomatik araç Aristotle'a atana kadar kimse durumu fark etmedi. Beklenmedik bir şekilde yapay zeka, boşluğu birkaç saat içinde bağımsız olarak buldu ve Lean'de biçimsel kanıtı tamamladı.

Yapay zekanın matematiğin "karanlık ormanını" aydınlattığı görülebiliyor. Terence Tao'nun dediği gibi, "Otomatik araçlar önce en kolay problemleri temizler, gerçekten zor kısmı ayırır ve insan matematikçilerin enerjilerini değerli şeylere harcamalarına izin verir."

‍

‍

‍

‍

Kaynak: https://eu.36kr.com/en/p/3576638922980231

https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124